Ans: माना \(a\) कोई धनात्मक पूर्णांक है और \(b=6\).
यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,
\(a=b q+r\), जहाँ \(0 \leq r<b\).
यहाँ \(0 \leq r<6\).
मान रखने पर,
\(\Rightarrow a=6 q+r\)
यदि \(r=0\),
\(\Rightarrow a=6 q+0\)
\(\Rightarrow a=6 q\)
यदि \(r=1\),
\(\Rightarrow a=6 q+1\)
यदि \(r=2\),
\(\Rightarrow a=6 q+2\)
इसलिये, \(a=6 q\) या \(6 q+1\) या \(6 q+2\) or \(6 q+3\) या \(6 q+4\) या \(6 q+5\).
\(6 q+1=2 \times 3 q+1\)
\(\Rightarrow 6 q+1=2 k_{1}+1\)
जहाँ, \(k_{1}\) एक पूर्णांक है
\(6 q+3=6 q+2+1\)
\(\Rightarrow 6 q+3=2(3 q+1)+1\)
\(\Rightarrow 6 q+3=2 k_{2}+1\)
जहाँ, \(k_{2}\) एक पूर्णांक है
\(6 q+5=6 q+4+1\)
\(\Rightarrow 6 q+5=2(3 q+2)+1\)
\(\Rightarrow 6 q+5=2 k_{3}+1\)
जहाँ, \(k_{3}\) एक पूर्णांक है
अत: \(6 q+1,6 q+3,6 q+5\) सभी \(2 k+1\) रूप के है और 2 से विभाजित नहीं है।
साथ ही, ये सभी व्यंजक विषम संख्या के हैं।
कोई भी धनात्मक विषम पूर्णाक \(6 q+1\) या \(6 q+3\), या \(6 q+5\), के रूप का होता है, जहाँ \(q\) कोई पूर्णांक है।
