यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता है|

Ans: माना \(a\) कोई धनात्मक पूर्णांक है और \(b=3\).
यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,
\(a=b q+r\), जहाँ \(0 \leq r<b\).
यहाँ \(0 \leq r<3\).
मान रखने पर,
\(\Rightarrow a=3 q+r\)
यदि \(r=0\), तब
\(\Rightarrow a=3 q+0\)
\(\Rightarrow a=3 q\)
यदि \(r=1\), तब
\(\Rightarrow a=3 q+1\)
प्रस्येक का वर्ग करने पर,

प्रत्येक का घन करने पर,
\(\Rightarrow a^{3}=(3 q)^{3}\)
\(\Rightarrow a^{3}=27 q^{3}\)
\(\Rightarrow a^{3}=9\left(3 q^{3}\right)\)
\(\Rightarrow a^{3}=9 m\), यहां \(m=3 q^{3}\)
\(\Rightarrow a^{3}=(3 q+1)^{3}\)
हम जानते है कि \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\), तब
\(\Rightarrow a^{3}=27 q^{3}+27 q^{2}+9 q+1\)
\(\Rightarrow a^{3}=9\left(3 q^{3}+3 q^{2}+q\right)+1\)
\(\Rightarrow a^{3}=9 m+1\), यहाँ \(m=3 q^{3}+3 q^{2}+q\)
\(\Rightarrow a^{3}=(3 q+2)^{3}\)
हम जानते है कि \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\), तब
\(\Rightarrow a^{3}=27 q^{3}+54 q^{2}+36 q+8\)
\(\Rightarrow a^{3}=9\left(3 q^{3}+6 q^{2}+4 q\right)+8\)

\[
\Rightarrow a^{3}=9 m+8 \text {, यहाँ } m=3 q^{3}+6 q^{2}+4 q
\]
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन \(9 m, 9 m+1\) या \(9 m+8\) के रूप का होता है।