प्रश्नावली 1.1

(i). 135 और 225 

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके 135 और 225 का HCF ज्ञात करना है।
माना a=225 और b=135.
 ∵a>b 
यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,
a=bq+r
⇒225=135×1+90 
⇒b=135 
⇒q=1 
⇒r=90 
अभी r≠0, 
⇒135=90×1+45 
⇒b=90
⇒q=1 
⇒r=45 
⇒90=2×45+0 
यहां r=0 है इसलिये 135 और 225 का HCF 45 है |

ii). 196 और 38220
 

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके 196 और 38220 का HCF ज्ञात करना है।
माना a=38220 और b=196.
∵a>b 
यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,
a=bq+r
⇒38220=196×195+0 
⇒b=196 
⇒q=195 
⇒r=0 
यहां r=0 है इसलिये 196 और 38220 का HCF 196 है |

iii). 867 और 255 

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके 867 और 255 का HCF ज्ञात करना है।
माना a=867 और b=255.
∵a>b 
यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,
a=bq+r
⇒867=255×3+102
⇒b=255 
⇒q=3 
⇒r=102 
⇒255=102×2+51 
⇒b=102 
⇒q=2 
⇒r=51 
⇒102=51×2+0 
यहां r=0 है इसलिये 867 और 255 का HCF 51 है |
 

Ans: माना \(a\) कोई धनात्मक पूर्णांक है और \(b=3\).
यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,
\(a=b q+r\), जहाँ \(0 \leq r<b\).
यहाँ \(0 \leq r<3\).
मान रखने पर,
\(\Rightarrow a=3 q+r\)
यदि \(r=0\), तब
\(\Rightarrow a=3 q+0\)
\(\Rightarrow a=3 q\)
यदि \(r=1\), तब
\(\Rightarrow a=3 q+1\)
प्रस्येक का वर्ग करने पर,

प्रत्येक का घन करने पर,
\(\Rightarrow a^{3}=(3 q)^{3}\)
\(\Rightarrow a^{3}=27 q^{3}\)
\(\Rightarrow a^{3}=9\left(3 q^{3}\right)\)
\(\Rightarrow a^{3}=9 m\), यहां \(m=3 q^{3}\)
\(\Rightarrow a^{3}=(3 q+1)^{3}\)
हम जानते है कि \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\), तब
\(\Rightarrow a^{3}=27 q^{3}+27 q^{2}+9 q+1\)
\(\Rightarrow a^{3}=9\left(3 q^{3}+3 q^{2}+q\right)+1\)
\(\Rightarrow a^{3}=9 m+1\), यहाँ \(m=3 q^{3}+3 q^{2}+q\)
\(\Rightarrow a^{3}=(3 q+2)^{3}\)
हम जानते है कि \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\), तब
\(\Rightarrow a^{3}=27 q^{3}+54 q^{2}+36 q+8\)
\(\Rightarrow a^{3}=9\left(3 q^{3}+6 q^{2}+4 q\right)+8\)

\[
\Rightarrow a^{3}=9 m+8 \text {, यहाँ } m=3 q^{3}+6 q^{2}+4 q
\]
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन \(9 m, 9 m+1\) या \(9 m+8\) के रूप का होता है।